Théorème de Fréchet-Kolmogorov - Math'φsics

Théorème de Fréchet-Kolmogorov

Formulaire de report
Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent
Théorème de Fréchet-Kolmogorov :
\(p\in[1,+\infty[\)

\(\Omega\) est un Ouvert de \({\Bbb R}^d\)

\({\mathcal F}\subset L^p(\Omega)\)

\({\mathcal F}\) est bornée

(stabilité par translation) : $$\begin{align}&\forall K\subset_c\Omega,\forall \lvert h\rvert\lt d(K,\partial\Omega),\forall f\in {\mathcal F},\\ &\lVert\tau_h f-f\rVert_p\leqslant\omega_K(\lvert h\rvert)\quad\text{ avec }\quad \omega_K(\varepsilon)\underset{\varepsilon\to0}\longrightarrow0\end{align}$$

(masse evanescente aux bords) : $$\forall\varepsilon\gt 0,\exists K\subset_c\Omega,\forall f\in {\mathcal F},\quad\lVert f\rVert_{L^p(\Omega\setminus K)}\leqslant\varepsilon$$

$$\Huge\iff$$

\({\mathcal F}\) est une partie précompacte de \(L^p(\Omega)\)
Questions de cours

Montrer que c'est continu :

On va chercher à majorer la norme \(L^2\).

On peut séparer les variables et majorer via l'Inégalité de Cauchy-Schwarz.

On conclut par linéarité.

On suppose la continuité, montrer que c'est compact :

On va utiliser le Théorème de Fréchet-Kolmogorov.

On a la borne par définition de \({\mathcal F}\).

On a toujours la majoration venant de l'Inégalité de Cauchy-Schwarz avec les normes, même en restreignant à \(I\setminus[\varepsilon,1-\varepsilon]\).

Cela nous donne l'evanescence aux bords.

On a aussi la stabilité par translation, ce qui nous permet de conclure.
Rétroliens :
- Théorème de Fréchet-Kolmogorov
- Théorème de Rellish